19 Temmuz 2010 Pazartesi
9 Temmuz 2010 Cuma
Yalancı ve Doğrucu Köy
Günün birinde yolumuz bir köye düştü. Ama bu köy öyle sanıldığı gibi bir köy değil. Herkesin kendine göre bir özelliği var. Ve bu insanlardan ikisi bizi köyün girişindeki köprünün başında bekliyor. Burada iki köprü var. Biri köye gidiyor diğeri ise gitmiyor. Ve adamlara soruyoruz:
Köye giden köprü hangisi?
1. adam: Ben her zaman doğru söylerim. Bu köprü köye gider.
2. adam: Ben her zaman yalan söylerim. Arkadaşımın gösterdiği köprü köye gider.
Acaba hangisi yalancı?
Köye giden köprü hangisi?
1. adam: Ben her zaman doğru söylerim. Bu köprü köye gider.
2. adam: Ben her zaman yalan söylerim. Arkadaşımın gösterdiği köprü köye gider.
Acaba hangisi yalancı?
Dikotomi Paradoksu(Zenon)
A kişisinin d noktasına gitmesi gerektiğini hayal edelim. Fakat d'ye gitmeden, önce d'ye olan mesafenin yarısını gitmek zorundadır. Fakat d'ye olan mesafenin yarısını gitmeden önce bu mesafenin çeyreğini gitmesi gerektir. Daha sonra çeyreği gidebilmek için sekizde birini gitmesi gerekmektedir; bu böyle devam eder.
Sonuç olarak A kişisinin sonsuz sayıda mesafe gitmesi gerekir. Bu seride bir sorun daha vardır; her ilk mesafe aralığı ikiye bölünebileceği için gidilmesi gereken belirli bir ilk mesafe yoktur. Böylece bu yolculuğun bir başlangıç noktası yoktur, yani yolculuğa başlayamaz. Bu paradoks sonuç olarak belirli bir mesafenin yolculuğunun tamamlanamaycağını veya başlanamayacağını, böylece de her hareketin sadece bir ilüzyondan ibaret olacağını ifade eder.
Sonuç olarak A kişisinin sonsuz sayıda mesafe gitmesi gerekir. Bu seride bir sorun daha vardır; her ilk mesafe aralığı ikiye bölünebileceği için gidilmesi gereken belirli bir ilk mesafe yoktur. Böylece bu yolculuğun bir başlangıç noktası yoktur, yani yolculuğa başlayamaz. Bu paradoks sonuç olarak belirli bir mesafenin yolculuğunun tamamlanamaycağını veya başlanamayacağını, böylece de her hareketin sadece bir ilüzyondan ibaret olacağını ifade eder.
5 Temmuz 2010 Pazartesi
2 Temmuz 2010 Cuma
İkiz Paradoksu
Zaman genleşmesi de, tıpkı uzunluk büzülmesi gibi, ilk bakışta çelişki içeriyor gibi görünüyor. Birbirlerine göre hareket eden iki roket içindeki saatler diğerine göre daha yavaş işler. Daha doğrusu, bu roketlerdeki gözlemciler aslında diğer saatin daha yavaş işlediğini söyler. Bu açıdan görüş birliği içinde değiller. Peki, böyle bir görüş birliğinin olmaması bir sorun mu?
Bir sorun olup olmadığını anlamak için bu roketlerdeki saatleri bir araya getirip karşılaştırmak gerekiyor. İşte, ikiz paradoksu böyle bir karşılaştırmayı yapmak üzere öne sürülmüş.
20 yaşında iki ikiz kardeş düşünün. Bunlardan biri komşu yıldızlardan birine bir uzay yolculuğu yapacak olan bir astronot olsun. Diğeri de Dünya’da kalsın.
Yolculuğun 20 yıl gidiş, 20 yıl da dönüş olmak üzere toplam 40 yıl sürdüğünü varsayalım. Hesabın kolay olması açısından, roketin de ışık hızının %87’si kadar bir hızla yol aldığını düşünelim. Sorumuz şu: Tekrar buluştuklarında hangi kardeş daha yaşlı olacaktır? Hesabımızı Dünya’daki ve roketteki kardeşlere göre yaptığımızda farklı cevaplar buluruz.
Önce hesabı Dünya’daki kardeşe göre yapalım. Dünya’daki kardeş yolculuğun başında 20 yaşındaydı. Yolculuk 40 yıl sürdüğüne göre, tekrar buluştuklarında kendisi 60 yaşında olur.
Astronot kardeş de başlangıçta 20 yaşındaydı. Dünya’ya göre 40 yıl yolculuk etti ama roketteki saatler iki kat daha yavaş işlediği için bu süreç boyunca sadece 20 yıl yaşlandı. Dolayısıyla, buluşma anında astronot 40 yaşında.
Özetle, Dünya’daki kardeşe göre yolculuk bittiğinde kendisi 60 yaşında, astronot kardeşi de 40 yaşında olmalı. Yani, astronot daha genç.
Peki, astronota göre hesabı nasıl yapabiliriz? Öncelikle, bu gözlem çerçevesinde roketin yerinde sabit durduğunu, Dünya ve komşu yıldızın da hareket ettiğini düşünürüz. Uzunluk büzülmesi etkisinden dolayı, Dünya ile komşu yıldız arasındaki mesafe iki kat daha kısa. O halde, gidiş yolculuğu sadece 10 yıl sürer.
Dolayısıyla, astronota göre yolculuk, 10 yılı gidiş, 10 yılı da dönüş olmak üzere toplam 20 yıl sürer.
Bu nedenle, bu süreç içinde astronot sadece 20 yıl yaşlanır ve 40 yaşına geldiğinde Dünya’ya dönmüş olur.
Şimdi de astronota göre Dünya’daki kardeşinin yaşını hesaplayalım. Rokete göre Dünya hareket ettiğinden, Dünya’daki saatler iki kat daha yavaş işler. Öyleyse, 20 yıl süren yolculuk boyunca Dünya’da sadece 10 yıl bir süre geçer. Öyleyse, yolculuk bittiğinde Dünya’daki kardeş 30 yaşında olmalı.
Özetlersek, astronota göre yolculuk bittiğinde kendisi 40 yaşında, Dünya’daki kardeşi de 30 yaşında olmalı. Yani Dünya’daki daha genç.
Dolayısıyla iki farklı gözlem çerçevesine göre düşündüğümüzde, iki kardeşten hangisinin daha genç olduğu konusunda farklı görüşler elde ediyoruz. Bu bir çelişki, çünkü kardeşler tekrar bir araya geldiğinde, yaşlılık belirtilerine bakarak hangisinin daha genç olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Peki, bu iki farklı bakış açısından hangisi yanlış?
Her ne kadar bu iki gözlemci, ikiz kardeşlerden hangisinin daha yaşlı olduğu konusunda farklı cevaplar verse de, astronotun yaşı konusunda görüş birliği olduğuna dikkat edin. Her iki gözlem çerçevesine göre astronot döndüğünde 40 yaşında olmalı. Bu nedenle, astronotun yaşının doğru hesaplandığını düşünebiliriz.
Sorun Dünya’daki kardeşin yaşının yanlış hesaplanmasında. Yolculuk bittiğinde Dünya’daki kardeşin yaşı, kendisine göre 60, astronota göreyse 30 olmalı. Bu hesaplardan birisi yanlış, ama hangisi ve neden?
Cevabı hemen verelim. Dünya’ya göre yaptığımız hesap doğru. Dolayısıyla, yolculuk bittiğinde Dünya’daki 60 yaşında, astronot da 40 yaşında olmalı.
Astronota göre yaptığımız hesapsa yanlış. Astronot, Dünya’dakinin yaşını hesaplarken önemli bir noktayı göz ardı ediyor. Astronot, komşu yıldıza ulaştığında yavaşlayıp durmalı ve geri dönmek için yeniden hızlanmalı. Dolayısıyla, yolculuğun bu kısmında roket sabit hızla hareket etmiyor.
Buna karşın, özel görelilik kuramı sadece sabit hızla hareket eden gözlem çerçevelerinde geçerli. Bu nedenle astronot, hareketinin bu aşamasında roketinin geçerli bir gözlem çerçevesi olduğunu varsayamaz.
Özel görelilik kuramı astronotun bu ivmeli hareket süresince uzay ve zamanı nasıl algılayacağı konusunda hiçbir şey söyleyemiyor. Ama, yine Einstein’ın geliştirilmesinde önayak olduğu “genel görelilik kuramı” aslında bu türden ivmeli gözlem çerçeveleri için geliştirilmiş.
Genel görelilik kuramının yöntemleriyle, astronota göre Dünya’dakinin yaşını hesapladığımızda, ilginç bir şekilde şunu buluruz. Sadece bu ivmeli hareket süresince Dünya’daki kardeş çok hızlı bir şekilde, tam 30 yıl yaşlanıyor. Dolayısıyla, astronot bu etkiyi de dahil ederse, buluştuklarında kardeşinin 60 yaşında olduğunu bulur. Kısacası, her iki kardeş de buluştuklarında hangi yaşta olacakları konusunda aynı cevabı verir: Dünya’daki 60, astronot da 40 yaşında.
Her ne kadar bu paradoksun tam olarak çözümü başka bir kuramın kullanılmasını gerektirse de, sadece özel görelilik kuramının niçin yeterli olmadığını görmek önemli. Tekrarlarsak, özel görelilik kuramı sadece sabit hızla hareket eden gözlem çerçevelerinde geçerli. İvmeli gözlem çerçevelerine uygulanamaz.
Bu, zaman genleşmesini kullanarak bir çelişki üretememizin bir nedeni. Zaman genleşmesinin ilk bakışta çelişkiliymiş gibi görünen yönünü hatırlayalım: Birbirlerine göre hareket eden iki gözlemci, hangisinin saatinin daha yavaş işlediği konusunda görüş birliği içinde değiller. Bu görüş farklılığını kullanarak bir çelişki elde etmek için saatleri iki defa bir araya getirmek gerekiyor. En başta, saatleri senkronize edip başlatmak için; ve en son aşamada, saatlerin ölçtüğü değerleri karşılaştırmak için. Eğer saatler iki defa karşılaşıyorlarsa, o zaman her iki saat de sürekli sabit hızla hareket ediyor olamaz. Saatlerden birinin hareket yönünü değiştirmesi, dolayısıyla ivmelenmesi gerekir. Bu durumda da özel görelilik kuramını doğrudan uygulayamayız.
Tübitak Bilim ve Teknik Dergisi - Mart 2008
Bir sorun olup olmadığını anlamak için bu roketlerdeki saatleri bir araya getirip karşılaştırmak gerekiyor. İşte, ikiz paradoksu böyle bir karşılaştırmayı yapmak üzere öne sürülmüş.
20 yaşında iki ikiz kardeş düşünün. Bunlardan biri komşu yıldızlardan birine bir uzay yolculuğu yapacak olan bir astronot olsun. Diğeri de Dünya’da kalsın.
Yolculuğun 20 yıl gidiş, 20 yıl da dönüş olmak üzere toplam 40 yıl sürdüğünü varsayalım. Hesabın kolay olması açısından, roketin de ışık hızının %87’si kadar bir hızla yol aldığını düşünelim. Sorumuz şu: Tekrar buluştuklarında hangi kardeş daha yaşlı olacaktır? Hesabımızı Dünya’daki ve roketteki kardeşlere göre yaptığımızda farklı cevaplar buluruz.
Önce hesabı Dünya’daki kardeşe göre yapalım. Dünya’daki kardeş yolculuğun başında 20 yaşındaydı. Yolculuk 40 yıl sürdüğüne göre, tekrar buluştuklarında kendisi 60 yaşında olur.
Astronot kardeş de başlangıçta 20 yaşındaydı. Dünya’ya göre 40 yıl yolculuk etti ama roketteki saatler iki kat daha yavaş işlediği için bu süreç boyunca sadece 20 yıl yaşlandı. Dolayısıyla, buluşma anında astronot 40 yaşında.
Özetle, Dünya’daki kardeşe göre yolculuk bittiğinde kendisi 60 yaşında, astronot kardeşi de 40 yaşında olmalı. Yani, astronot daha genç.
Peki, astronota göre hesabı nasıl yapabiliriz? Öncelikle, bu gözlem çerçevesinde roketin yerinde sabit durduğunu, Dünya ve komşu yıldızın da hareket ettiğini düşünürüz. Uzunluk büzülmesi etkisinden dolayı, Dünya ile komşu yıldız arasındaki mesafe iki kat daha kısa. O halde, gidiş yolculuğu sadece 10 yıl sürer.
Dolayısıyla, astronota göre yolculuk, 10 yılı gidiş, 10 yılı da dönüş olmak üzere toplam 20 yıl sürer.
Bu nedenle, bu süreç içinde astronot sadece 20 yıl yaşlanır ve 40 yaşına geldiğinde Dünya’ya dönmüş olur.
Şimdi de astronota göre Dünya’daki kardeşinin yaşını hesaplayalım. Rokete göre Dünya hareket ettiğinden, Dünya’daki saatler iki kat daha yavaş işler. Öyleyse, 20 yıl süren yolculuk boyunca Dünya’da sadece 10 yıl bir süre geçer. Öyleyse, yolculuk bittiğinde Dünya’daki kardeş 30 yaşında olmalı.
Özetlersek, astronota göre yolculuk bittiğinde kendisi 40 yaşında, Dünya’daki kardeşi de 30 yaşında olmalı. Yani Dünya’daki daha genç.
Dolayısıyla iki farklı gözlem çerçevesine göre düşündüğümüzde, iki kardeşten hangisinin daha genç olduğu konusunda farklı görüşler elde ediyoruz. Bu bir çelişki, çünkü kardeşler tekrar bir araya geldiğinde, yaşlılık belirtilerine bakarak hangisinin daha genç olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Peki, bu iki farklı bakış açısından hangisi yanlış?
Her ne kadar bu iki gözlemci, ikiz kardeşlerden hangisinin daha yaşlı olduğu konusunda farklı cevaplar verse de, astronotun yaşı konusunda görüş birliği olduğuna dikkat edin. Her iki gözlem çerçevesine göre astronot döndüğünde 40 yaşında olmalı. Bu nedenle, astronotun yaşının doğru hesaplandığını düşünebiliriz.
Sorun Dünya’daki kardeşin yaşının yanlış hesaplanmasında. Yolculuk bittiğinde Dünya’daki kardeşin yaşı, kendisine göre 60, astronota göreyse 30 olmalı. Bu hesaplardan birisi yanlış, ama hangisi ve neden?
Cevabı hemen verelim. Dünya’ya göre yaptığımız hesap doğru. Dolayısıyla, yolculuk bittiğinde Dünya’daki 60 yaşında, astronot da 40 yaşında olmalı.
Astronota göre yaptığımız hesapsa yanlış. Astronot, Dünya’dakinin yaşını hesaplarken önemli bir noktayı göz ardı ediyor. Astronot, komşu yıldıza ulaştığında yavaşlayıp durmalı ve geri dönmek için yeniden hızlanmalı. Dolayısıyla, yolculuğun bu kısmında roket sabit hızla hareket etmiyor.
Buna karşın, özel görelilik kuramı sadece sabit hızla hareket eden gözlem çerçevelerinde geçerli. Bu nedenle astronot, hareketinin bu aşamasında roketinin geçerli bir gözlem çerçevesi olduğunu varsayamaz.
Özel görelilik kuramı astronotun bu ivmeli hareket süresince uzay ve zamanı nasıl algılayacağı konusunda hiçbir şey söyleyemiyor. Ama, yine Einstein’ın geliştirilmesinde önayak olduğu “genel görelilik kuramı” aslında bu türden ivmeli gözlem çerçeveleri için geliştirilmiş.
Genel görelilik kuramının yöntemleriyle, astronota göre Dünya’dakinin yaşını hesapladığımızda, ilginç bir şekilde şunu buluruz. Sadece bu ivmeli hareket süresince Dünya’daki kardeş çok hızlı bir şekilde, tam 30 yıl yaşlanıyor. Dolayısıyla, astronot bu etkiyi de dahil ederse, buluştuklarında kardeşinin 60 yaşında olduğunu bulur. Kısacası, her iki kardeş de buluştuklarında hangi yaşta olacakları konusunda aynı cevabı verir: Dünya’daki 60, astronot da 40 yaşında.
Her ne kadar bu paradoksun tam olarak çözümü başka bir kuramın kullanılmasını gerektirse de, sadece özel görelilik kuramının niçin yeterli olmadığını görmek önemli. Tekrarlarsak, özel görelilik kuramı sadece sabit hızla hareket eden gözlem çerçevelerinde geçerli. İvmeli gözlem çerçevelerine uygulanamaz.
Bu, zaman genleşmesini kullanarak bir çelişki üretememizin bir nedeni. Zaman genleşmesinin ilk bakışta çelişkiliymiş gibi görünen yönünü hatırlayalım: Birbirlerine göre hareket eden iki gözlemci, hangisinin saatinin daha yavaş işlediği konusunda görüş birliği içinde değiller. Bu görüş farklılığını kullanarak bir çelişki elde etmek için saatleri iki defa bir araya getirmek gerekiyor. En başta, saatleri senkronize edip başlatmak için; ve en son aşamada, saatlerin ölçtüğü değerleri karşılaştırmak için. Eğer saatler iki defa karşılaşıyorlarsa, o zaman her iki saat de sürekli sabit hızla hareket ediyor olamaz. Saatlerden birinin hareket yönünü değiştirmesi, dolayısıyla ivmelenmesi gerekir. Bu durumda da özel görelilik kuramını doğrudan uygulayamayız.
Tübitak Bilim ve Teknik Dergisi - Mart 2008
Aşil ve kamplumbağa
Genç atlet Achilles kaplumbağayla yarış yapacaktır. Aşil tam olarak kaplumbağanın iki katı hızla koşmaktadır, bu nedenle de yarışın adil olması için kaplumbağaya başlangıç çizgisiyle bitiş çizgisi arasındaki uzaklığın tam ortasından başlama avansı verir. İşaret verilir ve yarış başlar. Aşil kaplumbağanın başlangıç noktasına doğru koşmaya başlar. O bunu yapıncaya kadar geçen zamanda kaplumbağa başlama noktasıyla bitiş çizgisi arasında kalan uzaklığın yarısına gelmiş olur. Aşil kaplumbağanın bu yeni konumuna doğru koşar. Oraya ulaştığında kaplumbağa kalan yolun yarısına varmıştır bile. Bu böylece devam eder. Aşil'in verilen herhangi bir uzaklığı koşması için geçen sürede kaplumbağa aynı uzaklığın yarısı kadar gitmiş olacaktır. Zeno buradan Aşil'in kaplumbağayı asla yakalayamayacağı sonucuna vardı; çünkü Aşil'in kaplumbağanın önceki konumuna ulaşması için geçen sürede kaplumbağa aynı uzaklığın yarısı kadar ileri gitmiş oluyordu.Hareketlilerin hızları verilseydi paradoks olmazdı
Dönen para paradoksu
Aynı paradan ikisini yan yana koyup birini sabit tutarak diğerini onun etrafında döndürün. Döndürülen para yarım tur attığında kendi ekseni etrafında bir tam tur atmış olacaktır.
Kral
Kral ülkenin yalancıları arasında bir yarışma açtı. "İşte bu yalan," diyebileceği bir yalan uydurana bir küp altın vadetti. Yalancılar akın akın saraya gelip yalanlarını söylediler, fakat yalanlar ne kadar akıl almaz olursa olsun kral hep, "olabilir, niye olmasın ..." gibi cevaplar veriyordu. Böylece hem eğleniyor, hem de bir küp altından olmuyordu.Derken kahramanımız elinde boş bir küple huzura çıktı ve konuştu:"-Rahmetli dedeniz bir savaşa çıkacaktı, ancak o günlerde hazinede yeterli para yoktu. Dedeniz dedemden bu küple bir küp altın borç aldı ve 'bu borcumu torunum torununa ödeyecek,' diye söz verdi. Şimdi, dedenizin borcunu bana ödemeniz için buraya geldim."Kral, "işte bu kuyruklu bir yalan!" deyince adam, "o halde ödülümü alayım," dedi.Kral, "ımm şeyy doğru da olabilir" deyince adam, "o halde borcunuzu ödeyin" dedi
Yamyamlar
Bir adada yaşayan bir grup yamyamın eline bir mantıkçı düşer. Yamyamlar mantıkçıya şöyle derler: "Biz her yakaladığımız yabancıyı yeriz. Kimini haşlayıp, kimini kızartıp yeriz. Avımıza bir soru sorarız. Avımız soruyu doğru yanıtlarsa haşlarız, yanlış yanıtlarsa kızartırız."Dedikleri gibi de yaparlar. Mantıkçıya şu soruyu sorarlar: "Seni haşlayıp da mı yiyeceğiz, yoksa kızartıp da mı yiyeceğiz?" Mantıkçı bir süre düşündükten sonra soruyu çok akıllıca cevaplar: "Kızartacaksınız!" İşte yamyamları çaresiz bırakan paradoks ortaya çıkmıştır, ve bu yanıtı sayesinde mantıkçı ne kızartılır ne de haşlanır.Bir an için mantıkçının kızartılacağını varsayalım. O zaman verdiği yanıt doğru olur. Ama yanıt doğru olduğu için -yamyamların kendi kurallarına göre- mantıkçının haşlanması gerekmektedir. Demek mantıkçı kızartılamaz. Şimdi de mantıkçının haşlanacağını varsayalım. O zaman mantıkçının yanıtı yanlış olacak. Yanıt yanlış olduğundan da kızartılması gerekmektedir. Demek mantıkçı haşlanamaz da. Yamyamlar tam bir kısırdöngüye girmişlerdir. Kızartsalar haşlamaları gerekecek, haşlasalar kızartmaları! Sonuç olarak adamımız kurtulur.
Avukat Protogras Paradoksu
Yunanlı ünlü avukat Protogras, verdiği özel dersin ücreti ile ilgili olarak öğrencisiyle bir anlaşma yapar. Bu anlaşmaya göre öğrencisi aldığı ilk davayı kazanırsa bu ücreti avukata ödeyecek, kazanamazsa ödemeyecektir.Dersin bitiminden hemen sonra herhangi bir dava almayan öğrenciden ses seda çıkmaz. Sabrını yitiren avukat, bir dava açarak bu ücreti öğrencisinden talep eder. Yeni avukat olan öğrenci bu ilk davasında kendini savunmayı üstlenir.Bu davayı öğrenci kazanırsa ilk davasını kazanmış olacağı için davayı kaybeden hocasına parayı ödemek zorunda kalacaktır.Tersine davayı kayberse bu kez de davayı kaybettiği için hocasına yine ödeme yapmak zorunda kalacaktır.
Don Kişot
Sanço Panço, Baratania adasının yöneticisidir Adaya gelenler niye geldiklerini belirtmek zorundadır Eğer doğruyu söylerlerse serbest kalacaklar, yalan söylerlerse asılacaklardır Günün birinde bir yolcu gelir ve 'Ben asılmak için buradayım' der.Panço'nun yapması gereken nedir?
Yolun ikiye bölünmesi
Bir yolcu, belirli bir uzaklığa gidecektir Önce gideceği yolun yarısını; sonra kalan yarısını; sonra kalanının yarısını;yürümek zorundadır Bu durumda hiçbir zaman gideceği yolun sonuna ulaşamayacaktır
Paradoksal bir şiir
Yağmuru seviyorum diyorsun
Yağmur yağinca şemsiyeni açıyorsun.
Güneşi seviyorum diyorsun,Güneş açınca gölgeye kaçiıorsun.
Rüzgarı seviyorum diyorsun,Rüzgar çıkınca pencereni kapatıyorsun.
İşte, bunun için korkuyorum,Beni de sevdiğini söylüyorsun...
William Shakespeare
Yağmur yağinca şemsiyeni açıyorsun.
Güneşi seviyorum diyorsun,Güneş açınca gölgeye kaçiıorsun.
Rüzgarı seviyorum diyorsun,Rüzgar çıkınca pencereni kapatıyorsun.
İşte, bunun için korkuyorum,Beni de sevdiğini söylüyorsun...
William Shakespeare
Timsah ve kadın
Timsahın biri Nil kenarında çamaşır yıkmakta olan bir kadının bir anlık gafletinden yararlanarak onun çocuğunu yakaladı. Kadın çocuğunu geri vermesi için timsaha yalvardı. Timsah, "çocuğuna ne yapacağımı doğru olarak tahmin edersen, onu sana veririm, aksi halde onu yerim," dedi. Kadın, "Ay! Yavrumu yiyeceksin," diye bir çığlık attı. Timsah, "pekala," dedi, "artık onu sana veremem, çünkü böyle yaparsam sen yanlış tahminde bulunmuş olursun. Halbuki sana yanlış tahminde bulunursan onu yiyeceğimi söylemiştim." "Tam tersine," dedi kadın, "yavrumu yiyemezsin, çünkü onu yersen doğru tahminde bulunmuş olurum ve doğru tahminde bulunduğumda onu bana vereceğini söylemiştin."
Fatih ve babası
Sultan II. Murat 1444 yılı Ağustos'unda tahtı 12 yaşlarındaki oğlu II. Mehmet'e (daha sonra Fatih Sultan Mehmet olacak) bıraktı. Tahta bir çocuğun geçtiğini öğrenen İtalyan, Alman, Lehistan (şimdiki Polonya), Macaristan, Sırp ve Ulahlardan müteşekkil yeni bir Haçlı Ordusu Eylül'de savaş ilan edip Varna'ya kadar geldi. Bunun üzerine II. Mehmet Manisa'ya çekilen babası II. Murat'a bir mektup gönderdi: ''Padişah biz isek emrediyoruz derhak ordunun başına geçin,eğer siz padişahsanız gelip ülkenizi müdafaa ediniz.''
Bertrend Russell'in berber paradoksu
Seville'de kendisini tıraş edemeyen her erkek Seville Berberi tarafından tıraş edilecektir. Berber kendisini tıraş etmeli midir? (Bu paradoksu ortaya atan B Russell'dır.)
Berber bir kadınsa paradoks yok, değilse böyle bir yasa çıkarılamaz.
Berber bir kadınsa paradoks yok, değilse böyle bir yasa çıkarılamaz.
Sürpriz sınav paradoksu
Öğretmen Cuma günü şöyle diyor: "Gelecek hafta hiç ummadığınız bir gün sizi yazılı yapacağım."
Sınavın haftaya Cuma günü yapılamayacağı açık, çünkü Cumaya kadar sınav yapılmamışsa o gün herkes okula sınav olacağını bilerek gelecektir. Aynı nedenle Perşembe de yapılamaz, çünkü Cuma günü yapılacak sınav sürpriz olmayacağından Perşembe'ye kadar sınav olmamışsa öğrenciler sınavın o gün yapılacağına kesin gözüyle bakacaklardır. Bu da Perşembe günü yapılacak sınavın sürpriz olmaması demektir.
O halde sınav Perşembe'den önce yapılmalıdır. Ancak sınav Salı günü de yapılmamışsa Perşembe günü de yapılamayacağından Çarşamba günü yapılmalıdır. Bu da Çarşamba günü yapılacak sınavı sürpriz olmaktan çıkarır.
Aynı şekilde mantık yürütürsek, Salı ve dolayısıyla Pazartesi günü yapılacak sınavın da sürpriz olamayacağı sonucuna varırız. Öyleyse öğretmen gelecek hafta sınav yapmayacaktır
Sınavın haftaya Cuma günü yapılamayacağı açık, çünkü Cumaya kadar sınav yapılmamışsa o gün herkes okula sınav olacağını bilerek gelecektir. Aynı nedenle Perşembe de yapılamaz, çünkü Cuma günü yapılacak sınav sürpriz olmayacağından Perşembe'ye kadar sınav olmamışsa öğrenciler sınavın o gün yapılacağına kesin gözüyle bakacaklardır. Bu da Perşembe günü yapılacak sınavın sürpriz olmaması demektir.
O halde sınav Perşembe'den önce yapılmalıdır. Ancak sınav Salı günü de yapılmamışsa Perşembe günü de yapılamayacağından Çarşamba günü yapılmalıdır. Bu da Çarşamba günü yapılacak sınavı sürpriz olmaktan çıkarır.
Aynı şekilde mantık yürütürsek, Salı ve dolayısıyla Pazartesi günü yapılacak sınavın da sürpriz olamayacağı sonucuna varırız. Öyleyse öğretmen gelecek hafta sınav yapmayacaktır
Dede paradoksu
Dede paradoksu, zaman yolculuğu ile ilgili bir paradokstur. İlk defa, bilim-kurgu yazarı Rene Barjavel tarafından "Le Voyageur Imprudent" (Tedbirsiz Seyyah) adlı romanında bu paradokstan bahsedilmiştir.
Paradoks şudur: Zaman yolculuğu yapan birinin geçmişe gidip dedesinin, babaannesiyle tanışmadan önce ölümüne sebep olduğunu düşünelim. Bu durumda zaman yolcusunun doğumu mümkün olmayacaktır ve böylece geriye dönüp dedesini öldürmesi de mümkün olmayacaktır.
Paradoks şudur: Zaman yolculuğu yapan birinin geçmişe gidip dedesinin, babaannesiyle tanışmadan önce ölümüne sebep olduğunu düşünelim. Bu durumda zaman yolcusunun doğumu mümkün olmayacaktır ve böylece geriye dönüp dedesini öldürmesi de mümkün olmayacaktır.
İşte size meşhur bir kaç paradoks
En ünlülerinde biri Giritli Epimenides 'ten:Bütün Giritliler yalancıdır!Çelişki var değil mi?
Bu da Russell'dan:
Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir. Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere "düzenli" diyelim. Örneğin, "İnsanların kümesi"nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir. Kendisini içeren kümeleri "düzensiz" olarak adlandıralım. Örneğin "beş elemandan fazla elemanı olan kümelerin kümesi" düzenli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz. Tüm düzenli kümeleri içerdiğine göre ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir. Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanıma göre düzensizdir. Düzenli olduğunu varsayıp, düzensiz olduğu çelişkili sonucuna vardık. Diğer taraftan, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir. Ama elemanlarının sadece düzenli kümeler olduğunu biliyoruz. Demek ki düzensiz ise düzenli olduğu sonucu ortaya çıkıyor. Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir. Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti. II.cildin ek bölümü şöyle başlar: "Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı tam bitmişken temellerinin çökmesidir.
Bu da Russell'dan:
Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir. Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere "düzenli" diyelim. Örneğin, "İnsanların kümesi"nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir. Kendisini içeren kümeleri "düzensiz" olarak adlandıralım. Örneğin "beş elemandan fazla elemanı olan kümelerin kümesi" düzenli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz. Tüm düzenli kümeleri içerdiğine göre ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir. Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanıma göre düzensizdir. Düzenli olduğunu varsayıp, düzensiz olduğu çelişkili sonucuna vardık. Diğer taraftan, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir. Ama elemanlarının sadece düzenli kümeler olduğunu biliyoruz. Demek ki düzensiz ise düzenli olduğu sonucu ortaya çıkıyor. Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir. Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti. II.cildin ek bölümü şöyle başlar: "Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı tam bitmişken temellerinin çökmesidir.
Paradoks nedir?
Paradoks şu şekillerde tanımlanabilir :
'Çok mantıksız görünen, aslında çok mantıklı bir değiş'
'İki doğrunun veya yanlışın çelişkisi'
'Soyut muhakemenin sona erdiği tezat' vs.
Yani paradoks bir nevi sorudur.Yıllarca bilim insanları insanlara düşünmeyi sağlayan paradokslar yapmışlardır.Bu paradoksların büyük bir kısmı çözülmemiştir.Paradoksta sayısal veriler ve işlemler kullanılmaz.Sadece mantık ve akıl yoluyla çözüme ulaşılmaya çalışılır.Haydi hep beraber paradoksların dünyasına yolculuk yapalım.
'Çok mantıksız görünen, aslında çok mantıklı bir değiş'
'İki doğrunun veya yanlışın çelişkisi'
'Soyut muhakemenin sona erdiği tezat' vs.
Yani paradoks bir nevi sorudur.Yıllarca bilim insanları insanlara düşünmeyi sağlayan paradokslar yapmışlardır.Bu paradoksların büyük bir kısmı çözülmemiştir.Paradoksta sayısal veriler ve işlemler kullanılmaz.Sadece mantık ve akıl yoluyla çözüme ulaşılmaya çalışılır.Haydi hep beraber paradoksların dünyasına yolculuk yapalım.
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)