19 Temmuz 2010 Pazartesi
9 Temmuz 2010 Cuma
Yalancı ve Doğrucu Köy
Günün birinde yolumuz bir köye düştü. Ama bu köy öyle sanıldığı gibi bir köy değil. Herkesin kendine göre bir özelliği var. Ve bu insanlardan ikisi bizi köyün girişindeki köprünün başında bekliyor. Burada iki köprü var. Biri köye gidiyor diğeri ise gitmiyor. Ve adamlara soruyoruz:
Köye giden köprü hangisi?
1. adam: Ben her zaman doğru söylerim. Bu köprü köye gider.
2. adam: Ben her zaman yalan söylerim. Arkadaşımın gösterdiği köprü köye gider.
Acaba hangisi yalancı?
Köye giden köprü hangisi?
1. adam: Ben her zaman doğru söylerim. Bu köprü köye gider.
2. adam: Ben her zaman yalan söylerim. Arkadaşımın gösterdiği köprü köye gider.
Acaba hangisi yalancı?
Dikotomi Paradoksu(Zenon)
A kişisinin d noktasına gitmesi gerektiğini hayal edelim. Fakat d'ye gitmeden, önce d'ye olan mesafenin yarısını gitmek zorundadır. Fakat d'ye olan mesafenin yarısını gitmeden önce bu mesafenin çeyreğini gitmesi gerektir. Daha sonra çeyreği gidebilmek için sekizde birini gitmesi gerekmektedir; bu böyle devam eder.
Sonuç olarak A kişisinin sonsuz sayıda mesafe gitmesi gerekir. Bu seride bir sorun daha vardır; her ilk mesafe aralığı ikiye bölünebileceği için gidilmesi gereken belirli bir ilk mesafe yoktur. Böylece bu yolculuğun bir başlangıç noktası yoktur, yani yolculuğa başlayamaz. Bu paradoks sonuç olarak belirli bir mesafenin yolculuğunun tamamlanamaycağını veya başlanamayacağını, böylece de her hareketin sadece bir ilüzyondan ibaret olacağını ifade eder.
Sonuç olarak A kişisinin sonsuz sayıda mesafe gitmesi gerekir. Bu seride bir sorun daha vardır; her ilk mesafe aralığı ikiye bölünebileceği için gidilmesi gereken belirli bir ilk mesafe yoktur. Böylece bu yolculuğun bir başlangıç noktası yoktur, yani yolculuğa başlayamaz. Bu paradoks sonuç olarak belirli bir mesafenin yolculuğunun tamamlanamaycağını veya başlanamayacağını, böylece de her hareketin sadece bir ilüzyondan ibaret olacağını ifade eder.
5 Temmuz 2010 Pazartesi
2 Temmuz 2010 Cuma
İkiz Paradoksu
Zaman genleşmesi de, tıpkı uzunluk büzülmesi gibi, ilk bakışta çelişki içeriyor gibi görünüyor. Birbirlerine göre hareket eden iki roket içindeki saatler diğerine göre daha yavaş işler. Daha doğrusu, bu roketlerdeki gözlemciler aslında diğer saatin daha yavaş işlediğini söyler. Bu açıdan görüş birliği içinde değiller. Peki, böyle bir görüş birliğinin olmaması bir sorun mu?
Bir sorun olup olmadığını anlamak için bu roketlerdeki saatleri bir araya getirip karşılaştırmak gerekiyor. İşte, ikiz paradoksu böyle bir karşılaştırmayı yapmak üzere öne sürülmüş.
20 yaşında iki ikiz kardeş düşünün. Bunlardan biri komşu yıldızlardan birine bir uzay yolculuğu yapacak olan bir astronot olsun. Diğeri de Dünya’da kalsın.
Yolculuğun 20 yıl gidiş, 20 yıl da dönüş olmak üzere toplam 40 yıl sürdüğünü varsayalım. Hesabın kolay olması açısından, roketin de ışık hızının %87’si kadar bir hızla yol aldığını düşünelim. Sorumuz şu: Tekrar buluştuklarında hangi kardeş daha yaşlı olacaktır? Hesabımızı Dünya’daki ve roketteki kardeşlere göre yaptığımızda farklı cevaplar buluruz.
Önce hesabı Dünya’daki kardeşe göre yapalım. Dünya’daki kardeş yolculuğun başında 20 yaşındaydı. Yolculuk 40 yıl sürdüğüne göre, tekrar buluştuklarında kendisi 60 yaşında olur.
Astronot kardeş de başlangıçta 20 yaşındaydı. Dünya’ya göre 40 yıl yolculuk etti ama roketteki saatler iki kat daha yavaş işlediği için bu süreç boyunca sadece 20 yıl yaşlandı. Dolayısıyla, buluşma anında astronot 40 yaşında.
Özetle, Dünya’daki kardeşe göre yolculuk bittiğinde kendisi 60 yaşında, astronot kardeşi de 40 yaşında olmalı. Yani, astronot daha genç.
Peki, astronota göre hesabı nasıl yapabiliriz? Öncelikle, bu gözlem çerçevesinde roketin yerinde sabit durduğunu, Dünya ve komşu yıldızın da hareket ettiğini düşünürüz. Uzunluk büzülmesi etkisinden dolayı, Dünya ile komşu yıldız arasındaki mesafe iki kat daha kısa. O halde, gidiş yolculuğu sadece 10 yıl sürer.
Dolayısıyla, astronota göre yolculuk, 10 yılı gidiş, 10 yılı da dönüş olmak üzere toplam 20 yıl sürer.
Bu nedenle, bu süreç içinde astronot sadece 20 yıl yaşlanır ve 40 yaşına geldiğinde Dünya’ya dönmüş olur.
Şimdi de astronota göre Dünya’daki kardeşinin yaşını hesaplayalım. Rokete göre Dünya hareket ettiğinden, Dünya’daki saatler iki kat daha yavaş işler. Öyleyse, 20 yıl süren yolculuk boyunca Dünya’da sadece 10 yıl bir süre geçer. Öyleyse, yolculuk bittiğinde Dünya’daki kardeş 30 yaşında olmalı.
Özetlersek, astronota göre yolculuk bittiğinde kendisi 40 yaşında, Dünya’daki kardeşi de 30 yaşında olmalı. Yani Dünya’daki daha genç.
Dolayısıyla iki farklı gözlem çerçevesine göre düşündüğümüzde, iki kardeşten hangisinin daha genç olduğu konusunda farklı görüşler elde ediyoruz. Bu bir çelişki, çünkü kardeşler tekrar bir araya geldiğinde, yaşlılık belirtilerine bakarak hangisinin daha genç olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Peki, bu iki farklı bakış açısından hangisi yanlış?
Her ne kadar bu iki gözlemci, ikiz kardeşlerden hangisinin daha yaşlı olduğu konusunda farklı cevaplar verse de, astronotun yaşı konusunda görüş birliği olduğuna dikkat edin. Her iki gözlem çerçevesine göre astronot döndüğünde 40 yaşında olmalı. Bu nedenle, astronotun yaşının doğru hesaplandığını düşünebiliriz.
Sorun Dünya’daki kardeşin yaşının yanlış hesaplanmasında. Yolculuk bittiğinde Dünya’daki kardeşin yaşı, kendisine göre 60, astronota göreyse 30 olmalı. Bu hesaplardan birisi yanlış, ama hangisi ve neden?
Cevabı hemen verelim. Dünya’ya göre yaptığımız hesap doğru. Dolayısıyla, yolculuk bittiğinde Dünya’daki 60 yaşında, astronot da 40 yaşında olmalı.
Astronota göre yaptığımız hesapsa yanlış. Astronot, Dünya’dakinin yaşını hesaplarken önemli bir noktayı göz ardı ediyor. Astronot, komşu yıldıza ulaştığında yavaşlayıp durmalı ve geri dönmek için yeniden hızlanmalı. Dolayısıyla, yolculuğun bu kısmında roket sabit hızla hareket etmiyor.
Buna karşın, özel görelilik kuramı sadece sabit hızla hareket eden gözlem çerçevelerinde geçerli. Bu nedenle astronot, hareketinin bu aşamasında roketinin geçerli bir gözlem çerçevesi olduğunu varsayamaz.
Özel görelilik kuramı astronotun bu ivmeli hareket süresince uzay ve zamanı nasıl algılayacağı konusunda hiçbir şey söyleyemiyor. Ama, yine Einstein’ın geliştirilmesinde önayak olduğu “genel görelilik kuramı” aslında bu türden ivmeli gözlem çerçeveleri için geliştirilmiş.
Genel görelilik kuramının yöntemleriyle, astronota göre Dünya’dakinin yaşını hesapladığımızda, ilginç bir şekilde şunu buluruz. Sadece bu ivmeli hareket süresince Dünya’daki kardeş çok hızlı bir şekilde, tam 30 yıl yaşlanıyor. Dolayısıyla, astronot bu etkiyi de dahil ederse, buluştuklarında kardeşinin 60 yaşında olduğunu bulur. Kısacası, her iki kardeş de buluştuklarında hangi yaşta olacakları konusunda aynı cevabı verir: Dünya’daki 60, astronot da 40 yaşında.
Her ne kadar bu paradoksun tam olarak çözümü başka bir kuramın kullanılmasını gerektirse de, sadece özel görelilik kuramının niçin yeterli olmadığını görmek önemli. Tekrarlarsak, özel görelilik kuramı sadece sabit hızla hareket eden gözlem çerçevelerinde geçerli. İvmeli gözlem çerçevelerine uygulanamaz.
Bu, zaman genleşmesini kullanarak bir çelişki üretememizin bir nedeni. Zaman genleşmesinin ilk bakışta çelişkiliymiş gibi görünen yönünü hatırlayalım: Birbirlerine göre hareket eden iki gözlemci, hangisinin saatinin daha yavaş işlediği konusunda görüş birliği içinde değiller. Bu görüş farklılığını kullanarak bir çelişki elde etmek için saatleri iki defa bir araya getirmek gerekiyor. En başta, saatleri senkronize edip başlatmak için; ve en son aşamada, saatlerin ölçtüğü değerleri karşılaştırmak için. Eğer saatler iki defa karşılaşıyorlarsa, o zaman her iki saat de sürekli sabit hızla hareket ediyor olamaz. Saatlerden birinin hareket yönünü değiştirmesi, dolayısıyla ivmelenmesi gerekir. Bu durumda da özel görelilik kuramını doğrudan uygulayamayız.
Tübitak Bilim ve Teknik Dergisi - Mart 2008
Bir sorun olup olmadığını anlamak için bu roketlerdeki saatleri bir araya getirip karşılaştırmak gerekiyor. İşte, ikiz paradoksu böyle bir karşılaştırmayı yapmak üzere öne sürülmüş.
20 yaşında iki ikiz kardeş düşünün. Bunlardan biri komşu yıldızlardan birine bir uzay yolculuğu yapacak olan bir astronot olsun. Diğeri de Dünya’da kalsın.
Yolculuğun 20 yıl gidiş, 20 yıl da dönüş olmak üzere toplam 40 yıl sürdüğünü varsayalım. Hesabın kolay olması açısından, roketin de ışık hızının %87’si kadar bir hızla yol aldığını düşünelim. Sorumuz şu: Tekrar buluştuklarında hangi kardeş daha yaşlı olacaktır? Hesabımızı Dünya’daki ve roketteki kardeşlere göre yaptığımızda farklı cevaplar buluruz.
Önce hesabı Dünya’daki kardeşe göre yapalım. Dünya’daki kardeş yolculuğun başında 20 yaşındaydı. Yolculuk 40 yıl sürdüğüne göre, tekrar buluştuklarında kendisi 60 yaşında olur.
Astronot kardeş de başlangıçta 20 yaşındaydı. Dünya’ya göre 40 yıl yolculuk etti ama roketteki saatler iki kat daha yavaş işlediği için bu süreç boyunca sadece 20 yıl yaşlandı. Dolayısıyla, buluşma anında astronot 40 yaşında.
Özetle, Dünya’daki kardeşe göre yolculuk bittiğinde kendisi 60 yaşında, astronot kardeşi de 40 yaşında olmalı. Yani, astronot daha genç.
Peki, astronota göre hesabı nasıl yapabiliriz? Öncelikle, bu gözlem çerçevesinde roketin yerinde sabit durduğunu, Dünya ve komşu yıldızın da hareket ettiğini düşünürüz. Uzunluk büzülmesi etkisinden dolayı, Dünya ile komşu yıldız arasındaki mesafe iki kat daha kısa. O halde, gidiş yolculuğu sadece 10 yıl sürer.
Dolayısıyla, astronota göre yolculuk, 10 yılı gidiş, 10 yılı da dönüş olmak üzere toplam 20 yıl sürer.
Bu nedenle, bu süreç içinde astronot sadece 20 yıl yaşlanır ve 40 yaşına geldiğinde Dünya’ya dönmüş olur.
Şimdi de astronota göre Dünya’daki kardeşinin yaşını hesaplayalım. Rokete göre Dünya hareket ettiğinden, Dünya’daki saatler iki kat daha yavaş işler. Öyleyse, 20 yıl süren yolculuk boyunca Dünya’da sadece 10 yıl bir süre geçer. Öyleyse, yolculuk bittiğinde Dünya’daki kardeş 30 yaşında olmalı.
Özetlersek, astronota göre yolculuk bittiğinde kendisi 40 yaşında, Dünya’daki kardeşi de 30 yaşında olmalı. Yani Dünya’daki daha genç.
Dolayısıyla iki farklı gözlem çerçevesine göre düşündüğümüzde, iki kardeşten hangisinin daha genç olduğu konusunda farklı görüşler elde ediyoruz. Bu bir çelişki, çünkü kardeşler tekrar bir araya geldiğinde, yaşlılık belirtilerine bakarak hangisinin daha genç olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Peki, bu iki farklı bakış açısından hangisi yanlış?
Her ne kadar bu iki gözlemci, ikiz kardeşlerden hangisinin daha yaşlı olduğu konusunda farklı cevaplar verse de, astronotun yaşı konusunda görüş birliği olduğuna dikkat edin. Her iki gözlem çerçevesine göre astronot döndüğünde 40 yaşında olmalı. Bu nedenle, astronotun yaşının doğru hesaplandığını düşünebiliriz.
Sorun Dünya’daki kardeşin yaşının yanlış hesaplanmasında. Yolculuk bittiğinde Dünya’daki kardeşin yaşı, kendisine göre 60, astronota göreyse 30 olmalı. Bu hesaplardan birisi yanlış, ama hangisi ve neden?
Cevabı hemen verelim. Dünya’ya göre yaptığımız hesap doğru. Dolayısıyla, yolculuk bittiğinde Dünya’daki 60 yaşında, astronot da 40 yaşında olmalı.
Astronota göre yaptığımız hesapsa yanlış. Astronot, Dünya’dakinin yaşını hesaplarken önemli bir noktayı göz ardı ediyor. Astronot, komşu yıldıza ulaştığında yavaşlayıp durmalı ve geri dönmek için yeniden hızlanmalı. Dolayısıyla, yolculuğun bu kısmında roket sabit hızla hareket etmiyor.
Buna karşın, özel görelilik kuramı sadece sabit hızla hareket eden gözlem çerçevelerinde geçerli. Bu nedenle astronot, hareketinin bu aşamasında roketinin geçerli bir gözlem çerçevesi olduğunu varsayamaz.
Özel görelilik kuramı astronotun bu ivmeli hareket süresince uzay ve zamanı nasıl algılayacağı konusunda hiçbir şey söyleyemiyor. Ama, yine Einstein’ın geliştirilmesinde önayak olduğu “genel görelilik kuramı” aslında bu türden ivmeli gözlem çerçeveleri için geliştirilmiş.
Genel görelilik kuramının yöntemleriyle, astronota göre Dünya’dakinin yaşını hesapladığımızda, ilginç bir şekilde şunu buluruz. Sadece bu ivmeli hareket süresince Dünya’daki kardeş çok hızlı bir şekilde, tam 30 yıl yaşlanıyor. Dolayısıyla, astronot bu etkiyi de dahil ederse, buluştuklarında kardeşinin 60 yaşında olduğunu bulur. Kısacası, her iki kardeş de buluştuklarında hangi yaşta olacakları konusunda aynı cevabı verir: Dünya’daki 60, astronot da 40 yaşında.
Her ne kadar bu paradoksun tam olarak çözümü başka bir kuramın kullanılmasını gerektirse de, sadece özel görelilik kuramının niçin yeterli olmadığını görmek önemli. Tekrarlarsak, özel görelilik kuramı sadece sabit hızla hareket eden gözlem çerçevelerinde geçerli. İvmeli gözlem çerçevelerine uygulanamaz.
Bu, zaman genleşmesini kullanarak bir çelişki üretememizin bir nedeni. Zaman genleşmesinin ilk bakışta çelişkiliymiş gibi görünen yönünü hatırlayalım: Birbirlerine göre hareket eden iki gözlemci, hangisinin saatinin daha yavaş işlediği konusunda görüş birliği içinde değiller. Bu görüş farklılığını kullanarak bir çelişki elde etmek için saatleri iki defa bir araya getirmek gerekiyor. En başta, saatleri senkronize edip başlatmak için; ve en son aşamada, saatlerin ölçtüğü değerleri karşılaştırmak için. Eğer saatler iki defa karşılaşıyorlarsa, o zaman her iki saat de sürekli sabit hızla hareket ediyor olamaz. Saatlerden birinin hareket yönünü değiştirmesi, dolayısıyla ivmelenmesi gerekir. Bu durumda da özel görelilik kuramını doğrudan uygulayamayız.
Tübitak Bilim ve Teknik Dergisi - Mart 2008
Aşil ve kamplumbağa
Genç atlet Achilles kaplumbağayla yarış yapacaktır. Aşil tam olarak kaplumbağanın iki katı hızla koşmaktadır, bu nedenle de yarışın adil olması için kaplumbağaya başlangıç çizgisiyle bitiş çizgisi arasındaki uzaklığın tam ortasından başlama avansı verir. İşaret verilir ve yarış başlar. Aşil kaplumbağanın başlangıç noktasına doğru koşmaya başlar. O bunu yapıncaya kadar geçen zamanda kaplumbağa başlama noktasıyla bitiş çizgisi arasında kalan uzaklığın yarısına gelmiş olur. Aşil kaplumbağanın bu yeni konumuna doğru koşar. Oraya ulaştığında kaplumbağa kalan yolun yarısına varmıştır bile. Bu böylece devam eder. Aşil'in verilen herhangi bir uzaklığı koşması için geçen sürede kaplumbağa aynı uzaklığın yarısı kadar gitmiş olacaktır. Zeno buradan Aşil'in kaplumbağayı asla yakalayamayacağı sonucuna vardı; çünkü Aşil'in kaplumbağanın önceki konumuna ulaşması için geçen sürede kaplumbağa aynı uzaklığın yarısı kadar ileri gitmiş oluyordu.Hareketlilerin hızları verilseydi paradoks olmazdı
Dönen para paradoksu
Aynı paradan ikisini yan yana koyup birini sabit tutarak diğerini onun etrafında döndürün. Döndürülen para yarım tur attığında kendi ekseni etrafında bir tam tur atmış olacaktır.
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)